On étudie une marche aléatoire sur le sous-groupe des matrices triangulaires inférieures de SL2, avec des accroissements i.i.d.
On prouve que le processus du coin inférieur de la marche aléatoire satisfait un critère de Rogers-Pitman pour être une chaîne de Markov si et seulement si les accroissements sont distribués selon une loi gaussienne inverse généralisée (GIG) sur leurs diagonales. Pour cela, on prouve une nouvelle caractérisation de ces lois. On prouve une version en temps discret de l'identité de Dufresne. Enfin, on montre comment récupérer le théorème de Matsumoto-Yor en prenant la limite continue de la marche aléatoire.